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線性分組碼,線性分組碼是什么意思

2010年04月03日 12:08 www.asorrir.com 作者:佚名 用戶評論(0
關鍵字:分組碼(6450)

線性分組碼,線性分組碼是什么意思

分組碼是一組固定長度的碼組,可表示為(n , k),通常它用于前向糾錯。在分組碼中,監(jiān)督位被加到信息位之后,形成新的碼。在編碼時,k個信息位被編為n位碼組長度,而n-k個監(jiān)督位的作用就是實現檢錯與糾錯。當分組碼的信息碼元與監(jiān)督碼元之間的關系為線性關系時,這種分組碼就稱為線性分組碼。

對于長度為n的二進制線性分組碼,它有image:bk070451w-1.gif種可能的碼組image:bk070451w-1.gif,從種碼組中,可以選擇M=image:bk070451w-2.gif個碼組(k個碼組構成的碼集中選出來的,這樣剩下的碼組就可以對這個分組碼進行檢錯或糾錯。

線性分組碼是建立在代數群論基礎之上的,各許用碼的集合構成了代數學中的群,它們的主要性質如下:

(1)任意兩許用碼之和(對于二進制碼這個和的含義是模二和)仍為一許用碼,也就是說,線性分組碼具有封閉性;

(2)碼組間的最小碼距等于非零碼的最小碼重。

在8.2.1節(jié)中介紹的奇偶監(jiān)督碼,就是一種最簡單的線性分組碼,由于只有一位監(jiān)督位通常可以表示為(n,n-1),式(1)表示采用偶校驗時的監(jiān)督關系。在接收端解碼時,實際上就是在計算:

image:bk070451w-3.gif (2)

其中,image:bk070451w-4.gif image:bk070451w-5.gifimage:bk070451w-6.gif表示接收到的信息位,image:bk070451w-7.gif表示接收到的監(jiān)督位,若S=0,就認為無錯;若S=1就認為有錯。式(2)被稱為監(jiān)督關系式,S是校正子。由于校正子S的取值只有“0”和“1”兩種狀態(tài),因此,它只能表示有錯和無錯這兩種信息,而不能指出錯碼的位置。

設想如果監(jiān)督位增加一位,即變成兩位,則能增加一個類似于式(2)的監(jiān)督關系式,計算出兩個校正子image:bk070451w-8.gifimage:bk070451w-9.gifimage:bk070451w-8.gif image:bk070451w-9.gif而共有4種組合:00,01,10,11,可以表示4種不同的信息。除了用00表示無錯以外,其余3種狀態(tài)就可用于指示3種不同的誤碼圖樣。

同理,由r個監(jiān)督方程式計算得到的校正子有r位,可以用來指示 image:bk070451w-10.gif-1種誤碼圖樣。對于一位誤碼來說,就可以指示image:bk070451w-10.gif-1個誤碼位置。對于碼組長度為n、信息碼元為k位、監(jiān)督碼元為r=n - k位的分組碼(常記作(n,k)碼),如果希望用r個監(jiān)督位構造出r個監(jiān)督關系式來指示一位錯碼的n種可能,則要求:

image:bk070451w-11.gif (3)

下面通過一個例子來說明線性分組碼是如何構造的。設分組碼(n , k)中k = 4,為了能夠糾正一位錯誤,由式(3)可以看到,要求r ≥ 3,若取r = 3,則n = k+r = 7。因此,可以用image:bk070451w-12.gif表示這7個碼元,用image:bk070451w-13.gifimage:bk070451w-9.gifimage:bk070451w-8.gif表示利用三個監(jiān)督方程,通過計算得到的校正子,并且假設image:bk070451w-13.gifimage:bk070451w-9.gifimage:bk070451w-8.gif三位校正字碼組與誤碼位置的關系如表1(當然,也可以規(guī)定成另一種對應關系,這并不影響討論的一般性):

由表中規(guī)定可已看到,僅當一錯碼位置在image:bk070451w-14.gif時,校正子image:bk070451w-8.gif為1;否則image:bk070451w-8.gif為0。這就意味著 image:bk070451w-15.gif四個碼元構成偶數監(jiān)督關系:

image:bk070451w-16.gif (4a)

同理,image:bk070451w-17.gif構成偶數監(jiān)督關系:

image:bk070451w-18.gif (4b)

表1校正字與誤碼位置

image: bk070451w-27.jpg

以及image:bk070451w-19.gif構成有數監(jiān)督關系:

image:bk070451w-20.gif (4c)

在發(fā)送端編碼時image:bk070451w-21.gif是信息碼元,它們的值取決于輸入信號,因此是隨機的。image:bk070451w-22.gif是監(jiān)督碼元,它們的取值由監(jiān)督關系來確定,即監(jiān)督位應使式(4)的三個表達式中的image:bk070451w-13.gifimage:bk070451w-9.gifimage:bk070451w-8.gif的值為零(表示編成的碼組中應無錯碼),這樣式(4)的三個表達式可以表示成下面的方程組形式:

image:bk070451w-23.gif (5)

由上式經移項運算,接出監(jiān)督位

image:bk070451w-24.gif (6)

根據上面兩個線性關系,可以得到16個許用碼組如表2所示:

表2許用碼組

image:bk070451w-28.jpg

接收端收到每個碼組后,計算出 image:bk070451w-13.gifimage:bk070451w-9.gifimage:bk070451w-8.gif,如不全為0,則可按表8-4確定誤碼的位置,然后予以糾正。例如,接收碼組為0000011,可算出image:bk070451w-13.gifimage:bk070451w-9.gif image:bk070451w-8.gif=011,由表8-4可知在 image:bk070451w-25.gif位置上有一誤碼。

不難看出,上述(7,4)碼的最小碼距,因此,它能糾正一個誤碼或檢測兩個誤碼。如超出糾錯能力,則反而會因“亂糾”而增加新的誤碼。

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