第一部分

模型預(yù)測(cè)控制

01

最優(yōu)控制理論處理的問(wèn)題通常是找到一個(gè)滿(mǎn)足容許控制的 u*，把它作用于系統(tǒng)（被控對(duì)象）?(t)=f(x(t),u(t),t) 從而可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡 x(t)，使得目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)。對(duì)于軌跡跟蹤問(wèn)題，那目標(biāo)函數(shù)就是使得這個(gè)軌跡在一定的時(shí)間范圍[t0tf]內(nèi)與我們期望的軌跡（目標(biāo)）x*(t) 越近越好。最優(yōu)控制問(wèn)題更一般的表達(dá)如下：在被控對(duì)象符合動(dòng)力學(xué)原理（狀態(tài)方程）和狀態(tài)約束

的條件下，求解控制函數(shù) u(t) 以使得連續(xù)時(shí)間性能指標(biāo)

最小。其中 t0?是初始時(shí)刻，tf?是終端時(shí)刻，E 是終端時(shí)刻代價(jià)，g 是運(yùn)行時(shí)刻代價(jià)。例如，更具體的場(chǎng)景，對(duì)于時(shí)間最短問(wèn)題（例如控制電流使得最短時(shí)間充電到 SOC100%），性能指標(biāo)即：

對(duì)于最小燃料消耗問(wèn)題（接下來(lái)本文中主要使用的例子，假設(shè)燃料消耗與控制量 u 成正比，并且 u∈[0 1]），性能指標(biāo)變?yōu)椋?/p>

最優(yōu)控制的性能指標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)都是泛函，因?yàn)樗麄兊淖宰兞?u(t) 本身也是個(gè)函數(shù)。于是，求解性能指標(biāo)函數(shù)最優(yōu)的問(wèn)題是一個(gè)求泛函極值的問(wèn)題，類(lèi)比于函數(shù)極值通過(guò)求導(dǎo)來(lái)獲得極值條件，泛函極值則通過(guò)變分法來(lái)獲得極值條件。而基于變分的兩大方法: 龐特里亞金極小值原理和動(dòng)態(tài)規(guī)劃（求解 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程），則是最優(yōu)控制問(wèn)題求解的主要方法。對(duì)于簡(jiǎn)化的最優(yōu)控制問(wèn)題，例如被控對(duì)象為線性系統(tǒng)

性能指標(biāo)是二次型的無(wú)限時(shí)域的連續(xù)時(shí)間泛函：

（其中第一項(xiàng)是對(duì)狀態(tài)（例如追蹤誤差）的要求，第二項(xiàng)是對(duì)控制能量的要求，Q 和 R 是權(quán)重矩陣），優(yōu)化區(qū)間考慮整個(gè)時(shí)間域 [t0=0 tf=∞]（也就是 Linear-Quadratic Regulator (LQR)?）, 可以使用極小值原理或動(dòng)態(tài)規(guī)劃或 Ricatti 代數(shù)方程求得閉環(huán)形式的最優(yōu)控制。例如，對(duì)一個(gè)車(chē)載倒立擺系統(tǒng)[1]：

其中系統(tǒng)輸出是車(chē)輛位移 x 和倒立擺角度 θ，控制輸出 u 是作用在車(chē)上的水平力。控制是標(biāo)量，狀態(tài)是 4 維

Q = [1,0,0,0;...?

0,0,0,0;...?

0,0,1,0;...

0,0,0,0];

R = 1;?

[K,S,P] = lqr(sys,Q,R)

利用 lqr 函數(shù)就可以求得最優(yōu)增益矩陣 K。但對(duì)于更一般的非線性系統(tǒng)，使用極小值原理或動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解解析解幾乎不可能，數(shù)值解計(jì)算復(fù)雜度較高，所以可以考慮一定的問(wèn)題簡(jiǎn)化，僅考慮未來(lái)的一小段時(shí)間最優(yōu)（而非全時(shí)間域“最優(yōu)”），將最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化未來(lái)幾個(gè)時(shí)間步的在線數(shù)值優(yōu)化問(wèn)題，例如 MPC，可以大大降低“最優(yōu)”控制計(jì)算的復(fù)雜度。

我們通過(guò)和人的行為進(jìn)行類(lèi)比來(lái)解釋 MPC 的思想[2]：設(shè)想開(kāi)車(chē)的場(chǎng)景，我們的目標(biāo)是讓車(chē)按一定的軌跡行駛，人的控制方式和模型預(yù)測(cè)控制器的工作方式很像，司機(jī)的大腦中可能有一些經(jīng)驗(yàn)（ 類(lèi)似虛擬的動(dòng)力學(xué)模型），于是他會(huì)利用這些經(jīng)驗(yàn)（虛擬模型）在大腦中去預(yù)先“仿真”這個(gè)過(guò)程，可以預(yù)測(cè)假如他采取了某些動(dòng)作（油門(mén)，剎車(chē)，轉(zhuǎn)向等等）之后的一段時(shí)間內(nèi)汽車(chē)會(huì)有多快或有多少轉(zhuǎn)向，從而他會(huì)從這些可選的一系列動(dòng)作中選擇一個(gè)最能使汽車(chē)在未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)接近期望軌跡的控制動(dòng)作作為當(dāng)前時(shí)刻的行為，例如踩油門(mén)，剎車(chē)等等，并在每個(gè)時(shí)刻不斷重復(fù)類(lèi)似的思想，從而驅(qū)動(dòng)車(chē)輛到期望的軌跡。

算法介紹

（圖表1）

模型預(yù)測(cè)控制 (MPC) 是一種最優(yōu)控制技術(shù)，在每個(gè)控制周期 tk , MPC 控制器獲得系統(tǒng)（被控對(duì)象）當(dāng)前的狀態(tài)。接下來(lái)它利用基于系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)和系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型通過(guò)在有限時(shí)間上預(yù)測(cè)系統(tǒng)未來(lái) p 步狀態(tài)軌跡，并與目標(biāo)軌跡構(gòu)建代價(jià)函數(shù)和約束，進(jìn)行一次開(kāi)環(huán)優(yōu)化問(wèn)題（要優(yōu)化的變量是作用在被控對(duì)象上的控制輸入序列）求解，得到未來(lái)一段時(shí)間 [tk,tk+1,···,tk+p] 的控制輸入序列?[uk,uk+1,···,uk+p] 。當(dāng)然對(duì)于求解得到的控制輸入序列，控制器只將最近時(shí)刻 tk 的控制?uk 作用于系統(tǒng)（被控對(duì)象）而忽略掉控制序列的其他值[uk+1,···,uk+p], 在下一個(gè)時(shí)刻tk+1，MPC 控制器會(huì)重復(fù)上述優(yōu)化求解過(guò)程重新計(jì)算控制序輸入列并只將第一個(gè)控制值作為當(dāng)前時(shí)刻的控制量作用于系統(tǒng)，依次類(lèi)推，重復(fù)上述過(guò)程進(jìn)行下一時(shí)刻的求解。所以 MPC 在每個(gè)時(shí)刻都在線進(jìn)行一個(gè)含約束的優(yōu)化問(wèn)題的求解（滾動(dòng)優(yōu)化，特殊情況除外）。接下來(lái)我們看一下這個(gè)優(yōu)化問(wèn)題是如何定義以及求解的。MPC 的優(yōu)化問(wèn)題 (更具體的二次規(guī)劃，QP) 包含這幾項(xiàng)主要內(nèi)容[3]：

代價(jià)函數(shù): 用于度量控制器性能，目標(biāo)是求它的最小值。

約束：目標(biāo)解必須滿(mǎn)足的條件，例如控制量（manipulated variables, MV）和被控對(duì)象狀態(tài)輸出的物理邊界。

控制與決策：得到優(yōu)化的控制量（MV）

代價(jià)函數(shù)

一個(gè)典型的代價(jià)函數(shù)由四部分組成，每一部分關(guān)注控制器性能的一個(gè)方面。

這里面的 zk?就是 QP 問(wèn)題的決策變量（控制變量）。其中每一項(xiàng)量化一個(gè)性能指標(biāo)。

Jy(zk) 量化系統(tǒng)輸出與目標(biāo)軌跡的跟蹤效果

Ju(zk) 用于量化控制輸入與目標(biāo)控制變量跟蹤效果（在很多應(yīng)用中，控制器還需要保證控制變量（MV）保持在某個(gè)目標(biāo)附近，尤其在控制量數(shù)目遠(yuǎn)多于系統(tǒng)輸出量數(shù)目的情況下）

JΔu(zk) 控制變量波動(dòng)約束（多數(shù)應(yīng)用場(chǎng)景下一般都希望控制變量有較小的變動(dòng)或調(diào)整，而不希望較大的突變）。

例如對(duì)于常用的 Jy(zk)?，即量化圖表1中黑色雙箭頭代表的區(qū)域。控制器的目標(biāo)是將被控對(duì)象保持在指定的參考軌跡附近。MPC 控制器通過(guò)如下計(jì)算得到一個(gè)標(biāo)量作為性能度量來(lái)實(shí)現(xiàn)目標(biāo)軌跡跟蹤:

其中，底標(biāo) i 是對(duì) p 個(gè)預(yù)測(cè)步的循環(huán)，j 是對(duì) ny 個(gè)輸出的循環(huán)。

k:當(dāng)前控制周期

p:預(yù)測(cè)區(qū)間（Prediction Horizon）

ny:被控對(duì)象輸出變量的數(shù)量

zk:QP 問(wèn)題決策變量，也就是對(duì)應(yīng)的時(shí)間步上的控制器輸出序列，其中

yj(k+i|k):從 k 時(shí)刻開(kāi)始的未來(lái)第 i 個(gè)（共 p 個(gè)）時(shí)間步長(zhǎng)被控對(duì)象第 j 個(gè)（共 ny?個(gè)）輸出的預(yù)測(cè)值

rj(k+i|k):從時(shí)刻開(kāi)始的未來(lái)第個(gè)（共個(gè)）時(shí)間步長(zhǎng)被控對(duì)象第個(gè)（共個(gè)）輸出的目標(biāo)參考值

：未來(lái)第個(gè)時(shí)間步，被控對(duì)象第個(gè)（共個(gè)）輸出的權(quán)重因子（無(wú)量綱）

約束

MPC 中最常見(jiàn)的約束就是邊界約束，例如針對(duì)被控對(duì)象、控制變量（MV）、控制變量變化量的邊界約束，如下：

yj,min(i),yj,max(i):從 k 時(shí)刻開(kāi)始的未來(lái)第 i 個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)被控對(duì)象第 j 個(gè)（共 ny?個(gè)）輸出的下界和上界

uj,min(i),uj,max(i):從 k 時(shí)刻開(kāi)始的未來(lái)第 i 個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)第 j 個(gè)（共 nu?個(gè)）控制變量的下界和上界

Δuj,min(i),Δuj,max(i):從 k 時(shí)刻開(kāi)始的未來(lái)第 i 個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)第 j 個(gè)（共 nu?個(gè)）控制變量的下界和上界

預(yù)測(cè)與決策

每次滾動(dòng)優(yōu)化計(jì)算過(guò)程中，模型預(yù)測(cè)控制器可以獲得整個(gè)預(yù)測(cè)區(qū)間 p 時(shí)間步上的參考軌跡 rj(k+i|k)。模型預(yù)測(cè)控制器中的“模型”包括被控對(duì)象模型、擾動(dòng)模型和噪聲模型，如圖表2，控制器每次滾動(dòng)優(yōu)化計(jì)算過(guò)程中，使用這些模型加上可調(diào)（可優(yōu)化）的控制變量 zk?來(lái)預(yù)測(cè)被控對(duì)象的輸出?yj(k+i|k)。

（圖表2）

上述預(yù)測(cè)過(guò)程可以通過(guò)簡(jiǎn)化的狀態(tài)空間離散預(yù)測(cè)模型表示：

其中 v(k) 是可測(cè)干擾輸入，d(k) 是不可測(cè)干擾輸入白噪聲。

我們?cè)敿?xì)描述一下在 k=0 時(shí)刻預(yù)測(cè)模型在預(yù)測(cè)區(qū)間 p 上的軌跡預(yù)測(cè)過(guò)程：對(duì)所有預(yù)測(cè)瞬時(shí) i, 將 d(i) 設(shè)為0，可得，問(wèn)題變成一個(gè)遞歸計(jì)算問(wèn)題(從 k=1到 k=0)即可得到 y(i|0) 序列：

整理成矩陣形式：

其中（此處不詳細(xì)列出這些矩陣表達(dá)式，可以根據(jù)上式遞歸自行推導(dǎo)）

組合各個(gè)元素得到優(yōu)化問(wèn)題定義

將上述的代價(jià)函數(shù)，約束，預(yù)測(cè)模型矩陣結(jié)合起來(lái)構(gòu)建 MPC 的開(kāi)環(huán)優(yōu)化問(wèn)題如下：

狀態(tài)變量 x(k)∈Rnx，控制變量 u(k)∈Rnu，滿(mǎn)足上述系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程以及時(shí)域約束，通過(guò)預(yù)測(cè)計(jì)算，求解如下最小化性能指標(biāo)對(duì)應(yīng)的優(yōu)化變量zk

其中

即在預(yù)測(cè)區(qū)間 p 上的待優(yōu)化的控制輸入序列。

示例：

非線性 MPC 的飛行機(jī)器人軌跡開(kāi)環(huán)規(guī)劃和閉環(huán)反饋控制?

我們通過(guò)一個(gè)非線性 MPC 的飛行機(jī)器人軌跡優(yōu)化與控制控制器設(shè)計(jì)示例來(lái)主要介紹介紹 MPC 設(shè)計(jì)方法[4]。MPC 即可以用于軌跡追蹤控制（在線實(shí)時(shí)），也可以用于規(guī)劃（進(jìn)行一次開(kāi)環(huán)的優(yōu)化）。本示例先用 MPC 進(jìn)行了一次開(kāi)環(huán)優(yōu)化求解完成了規(guī)劃，找到了從一個(gè)位置到另一個(gè)位置的最佳軌跡，然后再結(jié)合狀態(tài)估計(jì)器：擴(kuò)展卡爾曼濾波器，來(lái)控制機(jī)器人沿規(guī)劃的最優(yōu)軌跡進(jìn)行閉環(huán)控制。

這個(gè)簡(jiǎn)化的例子中的飛行機(jī)器人有四個(gè)推進(jìn)器在平面空間中移動(dòng)。

該模型動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)如下:

function dxdt = FlyingRobotStateFcn(x, u)

% 狀態(tài)方程：x 是六個(gè)狀態(tài)，u是推力控制。

%x(1)???– 質(zhì)心x坐標(biāo)

%x(2)??– 質(zhì)心y坐標(biāo)

%x(3)? – theta, 機(jī)器人(推力)方向

%x(4)??– x方向的速度vx

%x(5)??– y方向的速度vy

%x(5)??– omega, 角速度

…

dxdt = zeros(6,1);

dxdt(1) = x(4);

dxdt(2) = x(5);

dxdt(3) = x(6);

dxdt(4) = (T1 + T2)*cos(theta);

dxdt(5) = (T1 + T2)*sin(theta);

dxdt(6) = alpha*T1 - beta*T2;

end

示例假設(shè)機(jī)器人有四個(gè)物理推力 [u(1)u(2)u(3)u(4)]，范圍從0到1。

軌跡規(guī)劃

前面提到了，MPC 用于軌跡規(guī)劃其實(shí)是求解了一次開(kāi)環(huán)的帶約束的優(yōu)化問(wèn)題，區(qū)別于后面的針對(duì)規(guī)劃好的軌跡的路徑跟蹤（利用反饋狀態(tài)的滾動(dòng)優(yōu)化）。

先定義本示例的軌跡規(guī)劃問(wèn)題：機(jī)器人最初停留在 [-10, -10] 位置，方向角 theta 為 pi/2。本例中的飛行任務(wù)是在 12s 內(nèi)移動(dòng)機(jī)器人并停在最終位置 [0, 0]，方向角 theta 為 0。目標(biāo)是找到最優(yōu)路徑，使推進(jìn)器在控制過(guò)程中消耗的燃料總量最小。

在此例中，對(duì)于規(guī)劃軌跡，我們開(kāi)環(huán)優(yōu)化需要使用全部時(shí)間長(zhǎng)度：12s。設(shè)定一個(gè)采樣時(shí)間 Ts=0.4s，所以對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)區(qū)間為 30 步（12/0.4）。規(guī)劃的運(yùn)行周期通常可以比反饋控制周期更大，或更低頻，所以有更多計(jì)算資源允許計(jì)算一個(gè)相對(duì)較大的優(yōu)化問(wèn)題。對(duì)于軌跡規(guī)劃我們可以創(chuàng)建一個(gè)多級(jí)非線性MPC對(duì)象，它允許對(duì)每個(gè)預(yù)測(cè)步都定義不同的代價(jià)函數(shù)和約束。

% 具有 nx=6 個(gè)狀態(tài)和 nu=4 個(gè)控制輸入（mv）

% 預(yù)測(cè)區(qū)間 p = 30

nlobj=nlmpcMultistage(p,nx,nu);

nlobj.Ts=Ts;

for?ct=1:p

%并且每個(gè) stage/ 預(yù)測(cè)步有自己的代價(jià)函數(shù)

其中代價(jià)函數(shù)

包含 stage 這個(gè)參數(shù)，

見(jiàn)下面 FlyingRobotCostFcn 函數(shù)

nlobj.Stages(ct).CostFcn='FlyingRobotCostFcn';

end

%?代價(jià)函數(shù)示例

function J=FlyingRobotCostFcn(stage, x, u)

%本例中因?yàn)橥屏εc燃油正相關(guān)，所以這個(gè)示例每個(gè)預(yù)測(cè)步（1到p）簡(jiǎn)化燃油消耗的表達(dá)為上四個(gè)推力之

%和。本示例沒(méi)有直接使用 stage 參數(shù)。

J = u(1) + u(2) + u(3) + u(4);

end

指定預(yù)測(cè)模型的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和對(duì)應(yīng)的雅可比函數(shù)解析形式，可以大幅提升計(jì)算效率

nlobj.Model.StateFcn="FlyingRobotStateFcn";

nlobj.Model.StateJacFcn=@

FlyingRobotStateJacobianFcn;

控制目標(biāo)是在第12秒將機(jī)器人停在 [0,0] 處，角度為0弧度。將這個(gè)指定為終端狀態(tài)約束，其中最后一個(gè)預(yù)測(cè)步驟(第p+1步)的每個(gè)位置和速度狀態(tài)都應(yīng)該為零。

nlobj.Model.TerminalState = zeros(6,1);

如果可以為每個(gè) stage 都提供代價(jià)函數(shù)和約束函數(shù)的雅可比函數(shù)解析式會(huì)大大提升優(yōu)化效率。本例沒(méi)有提供，所以它們的雅可比矩陣由 MPC 控制器使用內(nèi)置的數(shù)值差分方法計(jì)算。

每個(gè)推力的工作范圍在0到1之間，也就是 MV 的下限和上限。

for?ct = 1:nu

nlobj.MV(ct).Min = 0;

nlobj.MV(ct).Max = 1;

end

指定飛行器初始條件：

x0=[-10;-10;pi/2;0;0;0];% 機(jī)器人停在 [-10, -10], 方向角為 pi/2

u0 = zeros(nu,1);????%初始推力為0

通過(guò)調(diào)用 nlmpcmove 命令，就可以完成一次優(yōu)化，找到最佳狀態(tài)和控制（MV）軌跡。

[~,~,info] = nlmpcmove(nlobj,x0,u0);

圖表 3規(guī)劃（優(yōu)化求解）的最優(yōu)軌跡對(duì)應(yīng)六個(gè)狀態(tài)量的預(yù)測(cè)值

圖表4對(duì)應(yīng)的4個(gè)推力在最優(yōu)軌跡規(guī)劃求解時(shí)的最優(yōu)解序列（MV）

圖表5 機(jī)器人最優(yōu)軌跡的坐標(biāo)和方位信息，從?[-10 -10 pi/2]?到?[0 0 0].

軌跡跟蹤的反饋控制

在通過(guò)開(kāi)環(huán)規(guī)劃得到最優(yōu)軌跡后，需要一個(gè)反饋控制器來(lái)使機(jī)器人沿著路徑移動(dòng)。理論上，可以將開(kāi)環(huán)規(guī)劃的到的最優(yōu)控制輸入 MV（圖表4）直接應(yīng)用于推進(jìn)器實(shí)現(xiàn)前饋控制。但在實(shí)際應(yīng)用中，通常會(huì)需要一個(gè)反饋控制器修正規(guī)劃時(shí)的建模誤差和抑制干擾，如下圖，所以接下來(lái)的任務(wù)我們就是設(shè)計(jì) MPC Controller 和 State Estimator

圖表 6

設(shè)計(jì)MPC控制器?

本示例使用典型的非線性 MPC 控制器將機(jī)器人沿著參考軌跡移動(dòng)到最終目標(biāo)位置。在這個(gè)軌跡跟蹤問(wèn)題中，參考軌跡包含所有六個(gè)狀態(tài)的軌跡(輸出的數(shù)量等于狀態(tài)的數(shù)量，ny=nx)。

ny = 6;

nlobj_tracking = nlmpc(nx,ny,nu);

% 對(duì)于狀態(tài)方程和雅可比函數(shù)，我們和上面用于軌跡規(guī)劃的MPC中使用同樣的動(dòng)力學(xué)模型

nlobj_tracking.Model.StateFcn=nlobj.、Model.StateFcn;

nlobj_tracking.Jacobian.StateFcn = nlobj.Model.StateJacFcn;

% 指定滾動(dòng)優(yōu)化的預(yù)測(cè)區(qū)間 Prediction Horizon (不需要考慮太遠(yuǎn)的未來(lái)時(shí)間)和控制區(qū)間 Control

% Horizon (例如，僅在前幾個(gè)預(yù)測(cè)區(qū)間允許變量可優(yōu)化 來(lái)減少計(jì)算量)。

nlobj_tracking.PredictionHorizon = 10;

nlobj_tracking.ControlHorizon = 4;

非線性 MPC 的默認(rèn)代價(jià)函數(shù)是一個(gè)適合軌跡跟蹤的標(biāo)準(zhǔn)二次函數(shù)。對(duì)于軌跡跟蹤問(wèn)題，代價(jià)函數(shù)中就 J(zk)=Jy(zk)+Ju(zk)+JΔu(zk), ?本示例對(duì)于跟蹤誤差 Jy(zk) 更看重，所以代價(jià)函數(shù)中的懲罰權(quán)重設(shè)置的大一些，控制抖動(dòng)項(xiàng) JΔu(zk)（MV 率）上的懲罰權(quán)重設(shè)置的小一些，如下：

nlobj_tracking.Weights.ManipulatedVariablesRate = 0.2*ones(1,nu);

nlobj_tracking.Weights.OutputVariables=5*ones(1,nx);

此外，在控制過(guò)程中，u1 和 u2 上下限的約束設(shè)定在 [0,1] 范圍內(nèi)，因?yàn)閮蓚€(gè)是同側(cè)相反的方向，所以不需要同時(shí)工作，因此加一個(gè)等式約束，使 u(1)*u(2) 對(duì)所有預(yù)測(cè)區(qū)間都為 0，u3 和 u4 也是同樣。

nlobj_tracking.Optimization.CustomEqConFcn = ...

@(X,U,data) [U(1:end-1,1).*U(1:end-1,2); U(1:end-1,3).*U(1:end-1,4)];

▼

設(shè)計(jì)狀態(tài)估計(jì)器?

在這個(gè)例子中，只測(cè)量了三個(gè)位置狀態(tài) (x、y 和角度)。速度狀態(tài)是沒(méi)有測(cè)量，需要估計(jì)。此處使用擴(kuò)展卡爾曼濾波器 (EKF) 進(jìn)行非線性狀態(tài)估計(jì)。因?yàn)?EKF 需要離散時(shí)間模型，但我們之前的狀態(tài)空間模型是連續(xù)模型，所以使用梯形規(guī)則

通過(guò)解 nx 個(gè)非線性代數(shù)方程，對(duì)連續(xù)模型進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得到離散狀態(tài)方程模型FlyingRobotStateFcnDiscreteTime.m。

其中m中的梯形規(guī)則如下實(shí)現(xiàn)：

% 利用上述梯形法則計(jì)算待定系數(shù)xk1

FUN=@(xk1) TrapezoidalRule(xk,xk1,uk,Ts,fk,ffun);

Options=optimoptions('fsolve','Display','none');

xk1 = fsolve(FUN,xk1,Options);

% 梯形法則函數(shù)

function f=TrapezoidalRule(xk,xk1,uk,Ts,fk,ffun)

% 計(jì)算梯形法則中的 f(ti+1,Yi+1)

fk1=ffun(xk1,uk);

% 通過(guò)使 f=0,求得待定系數(shù) xk1.

f=xk1-(xk + (Ts/2)*(fk1+fk));

接下來(lái)將上述離散后的模型給到 EKF 估計(jì)器用于狀態(tài)估計(jì)。

DStateFcn=@(xk,uk,Ts) FlyingRobotStateFcnDiscreteTime(xk,uk,Ts);

DMeasFcn = @(xk) xk(1:3);

% 創(chuàng)建EKF,并設(shè)定測(cè)量噪聲

EKF=extendedKalmanFilter(DStateFcn,DMeasFcn,x0);

EKF.MeasurementNoise = 0.01;

▼

閉環(huán)仿真?

現(xiàn)在圖表6中 MPC Controller, Plant, State Estimator 都有了，可以進(jìn)行追蹤控制的閉環(huán)仿真

設(shè)置好初始條件，仿真 32 個(gè)時(shí)間步，參考軌跡就是在規(guī)劃階段計(jì)算出來(lái)的最優(yōu)狀態(tài)軌跡。使用 nlmpcmove 和 nlmpcmoveopt 命令進(jìn)行閉環(huán)仿真。

Tsteps = 32;

for?k = 1:Tsteps

%獲取被控對(duì)象當(dāng)前時(shí)刻測(cè)量輸出（3維輸出數(shù)據(jù)：x、y和角度，含噪聲）.

yk = xHistory(k,1:3)' + randn*0.01;

%基于k時(shí)刻的測(cè)量值估計(jì) k 時(shí)刻的狀態(tài)（得到6維狀態(tài)）.

xk = correct(EKF, yk);

%nlmpcmove 使用參考軌跡 Xref 進(jìn)行一次 p 個(gè)未來(lái)步長(zhǎng)的優(yōu)化求解，得到當(dāng)前時(shí)刻的優(yōu)化控制uk.

[uk,options]=nlmpcmove(nlobj_tracking,xk,

lastMV,Xref(k:min(k+9,Tsteps),:),[],options);

%預(yù)測(cè)下一時(shí)刻的狀態(tài)和協(xié)方差矩陣，用于下步correct.

predict(EKF,uk,Ts);

%保存控制量并更新控制量用于作用在被控對(duì)象上

uHistory(k,:) = uk'; %#ok<*SAGROW>

lastMV = uk;

%基于當(dāng)前的狀態(tài) xk, 將求解的最優(yōu)的uk作用在被控對(duì)象上（連續(xù)時(shí)間 ODE）并求解 ODE 得到下一時(shí)刻的狀態(tài).

ODEFUN=@(t,xk) FlyingRobotStateFcn(xk,uk);

[TOUT,YOUT] = ode45(ODEFUN,[0 Ts], xHistory(k,:)');

%將狀態(tài)結(jié)果保留下來(lái)用于下個(gè)循環(huán)進(jìn)行測(cè)量.

xHistory(k+1,:) = YOUT(end,:);

end

將規(guī)劃的參考軌跡和實(shí)際的閉環(huán)控制軌跡進(jìn)行比較。

?

非線性 MPC 反饋控制器成功地移動(dòng)機(jī)器人(藍(lán)色塊)，沿著最優(yōu)軌跡(黃色塊)，并將其停在最后一個(gè)圖中的最終位置(紅色塊)。當(dāng)然計(jì)算出的實(shí)際燃油損失高于規(guī)劃的油量。產(chǎn)生此結(jié)果的主要原因是，由于我們?cè)诜答伩刂破髦惺褂昧烁r(shí)間域的預(yù)測(cè)和控制范圍最優(yōu)求解，因此與規(guī)劃階段使用全時(shí)間域優(yōu)化問(wèn)題相比，每個(gè)區(qū)間的控制決策都是次優(yōu)的。

第二部分

為被控對(duì)象辨識(shí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)

空間模型并用于 MPC

02

區(qū)別于第一性原理建模的另一種方法是基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的黑盒建模。對(duì)于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（被控對(duì)象）進(jìn)行數(shù)據(jù)建模的方式有很多，包括系統(tǒng)辨識(shí)（線性系統(tǒng)，Grey-Box, Nonlinear 等等，具體見(jiàn)前面文章[5] 數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)建模-系統(tǒng)辨識(shí)），以及深度學(xué)習(xí)（LSTM, Neural ODE 等等，具體見(jiàn)前面的文章[6] 數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)建模-深度學(xué)習(xí)）。

我們前面看到 MPC 控制器中進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)需要被控對(duì)象的狀態(tài)空間方程（Plant Model），也就是飛行器的狀態(tài)空間方程腳本。在工業(yè)應(yīng)用中，有時(shí)很難利用第一性原理手動(dòng)推導(dǎo)得到形如?的非線性狀態(tài)空間動(dòng)態(tài)模型。在這種情況下我們可以訓(xùn)練一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)空間模型，，其中 F 和 G 是兩個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，然后作為對(duì)象模型放到 MPC 中用于預(yù)測(cè)過(guò)程。示意如下

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) ODE 算法與訓(xùn)練

Neural ODE 思想介紹

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)空間模型是基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) ODE 實(shí)現(xiàn)的，這里可以簡(jiǎn)單介紹一下實(shí)現(xiàn)思路(在前面的文章 數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)建模-深度學(xué)習(xí)中簡(jiǎn)單介紹了訓(xùn)練的思想。在視頻[7]

https://www.bilibili.com/video/BV1sU4y1z7Qb/中介紹了實(shí)現(xiàn)過(guò)程)。

對(duì)于一個(gè)被控對(duì)象初始狀態(tài) x(t0)，作用一個(gè)控制輸入序列 [u(t0)u(t1)···u(tend)]，通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量或者仿真計(jì)算（使用 ode 求解器，例如 ode45），可以得到系統(tǒng)的輸出 [y(t1)y(t2)···y(tend)]，作為真值。我們的目的是訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)空間模型的參數(shù)?[θf(wàn)，θg] 使得在相同的初始狀態(tài)和作用相同的控制輸入序列的情況下，通過(guò)對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)空間模型

進(jìn)行計(jì)算得到的輸出序列 [?(t1)?(t2)···?(tend)] 與系統(tǒng)的真值 [y(t1)y(t2)···y(tend)] 盡量接近，也就是loss=L{?(t),y(t)} 越小越好，其中 L 可以是任何自定義的損失函數(shù)。計(jì)算神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)空間模型系統(tǒng)輸出的過(guò)程可以使用 ode 求解器，例如 ode45, 先計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程

然后計(jì)算測(cè)量輸出方程

這樣就可以計(jì)算損失函數(shù)，接下來(lái)可以按神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練步驟對(duì)參數(shù)?[θf(wàn)，θg]?進(jìn)行訓(xùn)練。

Neural ODE 訓(xùn)練過(guò)程實(shí)現(xiàn)

我們通過(guò)示意腳本來(lái)介紹訓(xùn)練的過(guò)程，主要包含六步。

將整個(gè)數(shù)據(jù)集?(一輪 /epoch) 分成小的 chrunk(minibatches).

在每次迭代 (each minibatch), 進(jìn)行預(yù)處理.

將輸入數(shù)據(jù)傳給網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行前饋計(jì)算?(inference).

和真值進(jìn)行比較?(i.e. compute loss function).

自動(dòng)微分?(compute gradients of each layer or operation
in the network w.r.t. loss)

更新模型權(quán)重和偏置?(parameters)

%遍歷輪數(shù)

for?epoch= 1:numEpochs

%每一輪的迭代數(shù)，一次迭代一個(gè)minibatch用于更新一次模型參數(shù)

for i= 1:numIterperEpoch ? ?

iter=iter + 1;

????????%創(chuàng)建每次迭代用于訓(xùn)練模型參數(shù)的 minibatch?

????????數(shù)據(jù)集，包含控制序列和輸出序列（真值）

[dlU,dlY,timeIds]=

createMiniBatch(neuralOdeTimesteps,?

UtrainCell,YtrainCell);

…

%@modelGradients 函數(shù)為了計(jì)算損失對(duì)模型

參數(shù)的梯度，總共完成了三個(gè)任務(wù)：

· 將輸入數(shù)據(jù)傳給網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行前饋計(jì)算(inference).

· 和真值進(jìn)行比較計(jì)算loss

(i.e. compute loss function).

· 計(jì)算梯度

[grads,loss]=dlfeval(@modelGradients,

dlX0,dlYTarge,dlU(或者插值體),

parameters,tspan);

%利用計(jì)算得到的梯度使用優(yōu)化求解器 adam?

更新模型權(quán)重和偏置

[parameters,averageGrad2,averageSqGrad2]=

adamupdate(parameters,grads,averageGrad,

averageSqGrad,iter,learnRate,gradDecay,

sqGradDecay);

end

end

%modelGradient 函數(shù)完成三個(gè)任務(wù)

function[grad,loss]=modelGradients(dlTarget,

dlX0, dlU, params, tspan)

%neuralStateMode l 函數(shù)（接下來(lái)列出來(lái)的函數(shù)）

就是利用初始狀態(tài)和控制序列進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)推斷計(jì)算。

dlY= neuralStateModel(dlX0, dlU, params, tspan);

%利用模型推斷結(jié)果和真值進(jìn)行損失計(jì)算

loss= huber(dlY, dlTarget);

%利用損失進(jìn)行梯度計(jì)算

grad= dlgradient(loss, params);

end

function Y= neuralStateModel(stateX0, controlX, Params, tspan)

%odeModel 函數(shù)對(duì)應(yīng)著狀態(tài)方程中的F(x,u|θf(wàn))，基于初始狀態(tài)，和當(dāng)前神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)下的狀態(tài)方程，利用 dlode45 進(jìn)行積分求解,得到對(duì)應(yīng)的模型推斷的狀態(tài)序列 stateX

%odeModel 對(duì)應(yīng) F

stateX= dlode45(@(t,y,p)odeModel

(t,y,p,controlX),[0tspan],

stateX0,Params.neuralode);

% 下面的代碼利用計(jì)算的狀態(tài)序列和輸入的控制序列，通過(guò)構(gòu)造G(x,u|θg)來(lái)計(jì)算得到測(cè)量輸出Y

stateControl = cat(1,stateX,controlX);

…(此處省去多層連接)

Y = fullyconnect(stateControl,Param.fc1.Weights,);

end

function dxdt = odeModel(t,y,thetaODE,controlu)

% 這個(gè)函數(shù)就是構(gòu)造狀態(tài)方程 ?=F(x,u|θf(wàn)) 中的右半部分 F(x,u|θf(wàn))

dxdt = cat(1,u,y);

dxdt = thetaODE.fc1.Weights*dxdt + thetaODE.fc1.Bias;

… （可以自定義層邏輯）

end

其中利用損失進(jìn)行梯度計(jì)算時(shí)，可以直接用反向傳播方法進(jìn)行自動(dòng)微分，根據(jù) BP 算法原理，要保留在前向計(jì)算過(guò)程中模型中的激活值，尤其進(jìn)行 ode 積分求解時(shí)，積分時(shí)長(zhǎng) tspan 較長(zhǎng),或者積分步長(zhǎng)較小導(dǎo)致積分步數(shù)過(guò)多,都會(huì)使網(wǎng)絡(luò)前向計(jì)算保留較多的激活值（用于反向傳播進(jìn)行自動(dòng)微分），這就對(duì)內(nèi)存有了較高的要求。為了解決這個(gè)問(wèn)題，計(jì)算梯度的時(shí)候，原文[8]使用了伴隨梯度算法（adjoint method）, 把梯度的計(jì)算變成了求解帶初值的另外一個(gè)常微分方程問(wèn)題，只需要當(dāng)前激活作為初值，直接可以使用 ODE 求解器計(jì)算這個(gè)新的常微分方程得到各個(gè)時(shí)刻損失對(duì)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的梯度，而不需要保留前向過(guò)程中的激活。具體的細(xì)節(jié)可以看原論文[8]證明。具體使用哪種微分計(jì)算可以通過(guò)設(shè)置 dlode45 這個(gè)針對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)微分方程的 ODE 求解器的屬性來(lái)實(shí)現(xiàn)[9]。?

工程師更友好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)空間模型辨識(shí)

通過(guò)上述腳本實(shí)現(xiàn)模型的訓(xùn)練，可以得到一個(gè)訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)空間模型。對(duì)于領(lǐng)域工程師，MATLAB 提供了一種更集成的方式實(shí)現(xiàn)上述過(guò)程，將上述的六個(gè)步驟集成在一個(gè) nlssest 函數(shù)中，我們通過(guò)這種簡(jiǎn)單易用的方式對(duì)飛行機(jī)器人被控對(duì)象模型進(jìn)行神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)空間模型的辨識(shí)。?

%創(chuàng)建一個(gè) idNeuralStateSpace 對(duì)象，包含6個(gè)狀態(tài)量和4個(gè)控制輸入.

obj=idNeuralStateSpace(6,NumInputs=4);

%系統(tǒng)因?yàn)闋顟B(tài)量就是測(cè)量輸出，所以只需要?jiǎng)?chuàng)建一個(gè)狀態(tài)方程 ?=F(x,u|θf(wàn))，測(cè)量方程是個(gè)恒等式 (G(x,u|θg)=I,即 Y=I*X）,自定義狀態(tài)方程的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)和層數(shù).

obj.StateNetwork = createMLPNetwork(obj,'state',...

LayerSizes=[32 32 32],...

Activations='tanh',...

WeightsInitializer="glorot",...

BiasInitializer="zeros");

% 設(shè)置訓(xùn)練選項(xiàng)

options = nssTrainingOptions('adam');

% 使用nlssest利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)/仿真數(shù)據(jù)對(duì)構(gòu)建的進(jìn)行參數(shù)的訓(xùn)練

% 完成了上述六個(gè)步驟

nss=nlssest(U,X,obj,options,'UseLastExperimentForValidation',true);

訓(xùn)練完成得到狀態(tài)空間模型 nss 后，可以使用 generateMATLABFunction 自動(dòng)為這個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)空間模型生成狀態(tài)方程和雅可比函數(shù)解析式。

generateMATLABFunction(nss,'nssStateFcn');

function [A, B] = nssStateFcnJacobian(x,u)

% 這是自動(dòng)生成的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)模型的雅可比函數(shù)

? ? %# codegen

persistent StateNetwork

MATname = 'nssStateFcnData';

if isempty(StateNetwork)

StateNetwork = coder.load(MATname);

end

out = [x;u];

J = eye(length(out));

% 第一層隱含層

Jfc=StateNetwork.fc1.Weights;

out=StateNetwork.fc1.Weights*out+StateNetwork.fc1.Bias;

Jac = deep.internal.coder.jacobian.tanh(out);

…

% output layer

J = StateNetwork.output.Weights*J;

end

將訓(xùn)練的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)空間模型作為MPC中的預(yù)測(cè)模型

我們把自動(dòng)生成生成的狀態(tài)方程和雅可比函數(shù)賦給 MPC 的模型。

nlobj_tracking.Model.StateFcn =

'nssStateFcn';

nlobj_tracking.Jacobian.StateFcn=

'nssStateFcnJacobian';

使用含有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)空間模型的 MPC 再次進(jìn)行閉環(huán)仿真，代碼跟上述使用第一原理的 MPC 一樣，查看追蹤效果。?

將計(jì)劃的閉環(huán)軌跡與實(shí)際的閉環(huán)軌跡進(jìn)行比較。響應(yīng)與基于第一性原理的預(yù)測(cè)模型結(jié)果相對(duì)接近。

總結(jié)

本文旨在提供一種將 AI 和模型預(yù)測(cè)控制結(jié)合的方法，可以將訓(xùn)練的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)空間方程的模型給到模型預(yù)測(cè)控制器中使用，從而在第一原理模型不存在的情況下也可以實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè)控制。對(duì)于模型預(yù)測(cè)控制本身比較復(fù)雜，包括類(lèi)型選擇和加速等等。

編輯：黃飛

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